새로 이직하게 되서 부서 사람들하고 인사할때 보통 뭐라하나요?
한국식처럼 잘 부탁합니다. 라는 영어식 표현은 뭐가 있을까요?

직역하면, “Please take a good care of me.”가 되겠지만, 콩글리쉬고,
“I am looking forward to working with you.” 정도 되지 않을까요?

그런말 일부러 자청해서 할 필요가 없을 듯.. 분위기파악해서 필요하면 하삼.
만약, 걔들이 Welcome aboard.. 등 해주면.
“Thanks for having me.” or “Glad to be here.” 그리고 다른분 답변처럼 해줘도 되고..

영어 (적어도 미국 내에서) 에서는 한국에서 사용하는 “잘 부탁드리겠습니다” 랑 정확하게 매치되는 표현은 없다고 생각합니다.
한국에서 잘부탁드리겠습니다, 이것의 주된 의미는 갈구지 마시고 살살 좀 부탁드립니다…모르는거 있어도 잘 좀 지도해주세요..

미국 직장에서는 이런 의미로 인사하는 경우가 없죠. 그래서, 그냥.. Glad to see you guys… 등등의 간단한 반갑다 인사가 좋을것 같네요.