“클리포드 알제브라에서는 그런식으로 칼럼벡터를 만들지 않습니다. 그래서 매트릭스 리프리젠테이션이 유용할수 밖에 없는거에요. ”
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이걸 반박이 없어서 내가 반박해보면
CL(+1,-2) 릐 경우에, 내적해서 -1 이 생기는게 벡터 베이시스가 두개가 있으니까, 그리고 전체 백터 스페이스가 3 이니까
p=1: e1 = [1, 0,0] transpose.
q=-2?
e2 =[0, i, 0] transpose
e3 = [0,0,i] transpose.
이렇게 복소수를 이용해서 3개의 칼럼벡터를 만들수는 있네요. 베이시스들간에 오쏘고날도 성립하고. 근데 이거 가지고는 멀티벡터를 만들기가 어렵고 바이벡터나 트라이벡터 설명하기가 역시 힘들군요. 사실 3차원 텐서 프라덕트로 표현은 가능하지만 표현한걸 해석하기는 거의 불가. 그냥 해석상의 문제지 표현상으로는 문제는 없는듯. (그러고보니 파이쏜으로 계산하고 해석하면 문제 없는듯. 사람이 비줠상 종이에 써가며 계산할려니까 거의 불가한거고.)
근데 CL(3,0) 경우라 해도 e1 을 매트릭스 베이시스로 표현하면 8×8 매트릭스가 나와서 간단한 수학이 아님. 2 차원에서 2×2 매트릭스였는데 3차원에서는 8×8 매트릭스가 되므로 D 차원이면 2^D x 2^D 사이즈의 매트릭스 베이시스들이 필요.
여기서 또 하나 질문:
우리가 아는 쿼터니온은 3스피어(4차원에 임베디드된 스피어) 를 나타내고 3차원 유니트 스피어에서 회전을 의미한다면서 (또는 4차원이라고 말하는 사람도 있고) 보통 실수성분 매트릭스 표현이 4×4 로 표현가능한데
왜 위에서는 3차원 벡터 스페이스 베이시스를 제너레이터로 이용했는데 8×8 매트릭스(실수성분)가 나오나? 뭐가 문제냐? 두 매트릭스의 차이 설명은?