Topic: 이거 혹시 아는 분 있나요?

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2024-03-2114:05:56 #3857435

4325 76.***.204.204 1205

벡터를 칼럼 벡터나 로 벡터로 쓰는 경우만 봤지
여기처럼 매트릭스 폼으로 쓰는 경우는 거의 본적 없는거 같은데….이게 어떻게 생긴 벡터인지 매트릭스가 아니라 그냥 벡터폼으로는 어떤 벡터인지 아는 분 있나요? 배경설명없이 툭 던져진거라 이해하기 좀 힘드네요

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  솩자 89.***.180.36 2024-03-2114:27:01
  
  배경 설명이 없는게 아니고 아예 배경지식을 모르시는거 같은데… Clifford algebra부터 알아야 R^p,q 같은 노테이션이 말이 되지요. 벡터로서는 그냥 element 2^(p+q)개 있는 column vector입니다
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    4325 76.***.204.204 2024-03-2115:00:10
    
    오, 반갑네요.
    
    p는 벡터 베이시스를 자기와 내적했을때 1 이되는 베이시스들이고 q는 자기와 내적할때 -1 이 되는 벡터 베이시스들이지요. 물론 이것들은 칼럼벡터로 나타낼수는 있지만 클리포드로 오면서는 더이상 칼럼 벡터로 쓰지 않고 매트릭스로 아이소모픽 시켜서 보통 쓰게 되지요. 아니면 그냥 ei 로 쓰기도 하지만 그걸 칼럼벡터로 쓰는경우는 없지요. 그러면서 매트릭스 베이시스로 쓰면서 쿼터니온도 생기구요. 결국 쿼터니온의 베이시스들도 더이상 우리가 아는 벡터로 쓰지 않고 매트릭스 베이시스로 씁니다. (차이가 뭐냐면 우리가 아는 벡터로는 자기와 내적을 하면 +1 이 되지 -1이 되지 않지요. 하지만 매트릭스 베이시스를 쓰면 이걸 복소수 도입안하고도 자연스럽게 설명해낼수가 있지요. h,i,j 라고 벡터처럼 계속 쓰는 이유는 우리가 i,j,k 벡터에 이미 익숙해졌고 해밀톤이 아마 h,i,j 로 썼기 때문이겠지요)
    
    저 매트릭스 폼도 사실은 3개의 매트릭스 베이시스로 디컴포즈 시킬수 있는것 같은데(보통 일반적인 매트릭스는 4개의 베이시스로 디컴포즈 시킬수있지만)….매트릭스 자체를 Y 라는 벡터로 부르기에 신기해서 질문올린겁니다. 칼럼벡터를 벡터라고 부르지 매트릭스를 벡터라고 부르는 경우는 본적이 없어서요. 그래서 벡터는 1-오더 텐서이고 매트릭스는 2-오더 텐서라고 구분하기도 하지요. 클리포드 알제브라에서는 칼럼 벡터를 쓰지않고 매트릭스가 베이시스가 되는 걸 씁니다. 그걸 벡터라고 부르는 경우도 드물어요. 파울리 매트릭스나 디렉매트릭스를 벡터로 거의 부르지 않지요. 벡터라 부르지 않는 이유는 당연히 포인트나 방향이나 매그니튜드로 리프리젠테이션하는 해석성의 문제가 생기지요.
    
    구글해봐도 그런 경우 거의 안나오네요. 아마 그냥 저 저자의 설명 방식인가 보네요. 내가 궁금한건 저 매트릭스 의 특별한 패턴을 왜 저자가 툭 던졌냐 하는건데…아마 컨포말 변환에서 저런 패턴이 일반적으로 나오는거 패턴이 아닌가 생각드네요. 더 찾아 봐야겠어여.
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      솩자 89.***.180.36 2024-03-2116:11:50
      
      배경설명 없이 텍스트 한줄만 잘라서 질문하시길래 Clifford algebra를 아예 모르시는줄 알았는데 아닌가봅니다
      무슨 논문에서 나온 텍스트인지는 모르겠으나 어떤 property를 다루느냐에 따라서 벡터 폼이 편할수도 있고 매트릭스 폼이 편할수도 있지요
      p+q개 basis에서 가능한 모든 unordered combination을 취해서 나오는 2^(p+q)개 성분에 coefficient를 준다고 보고 그 coefficient 리스트를 벡터 폼이라고 보시면 됩니다
      https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/002437959090282H
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        4325 76.***.204.204 2024-03-2116:50:53
        
        Pertti Lounesto 이 사람 논문이 그 당시에 많군요.
        이 논문도 보면 스탠다드 베이시스/제너레이터 이런식의 용어를 쓰지 벡터 베이시스란 말은 전혀 쓰지 않고 있군요. 사실 벡터 아이디어지만 컨벤셔널 벡터와는 좀 다르기 때문에 조심해야 할듯하빈다. 이 스탠다드 베이시스는 오쏘고날이 성립하고 내적이 +1 이거나 -1 가진것과 그리고 아이덴티티 베이시스 세트들만 이용하는데 일반적 벡터 베이시스 세트와 좀 다르지요. 오히려 멀티벡터라는 말을 헤스테네스가 쓰기 시작했는지는 모르겠는데 기하학적인 의미를 부여하기엔 그게 더 일리기 있어요. 거기서 나오는 말들이 바이벡터 트라이 벡터 … 이런 말인데, 이 바이벡터나 트라이벡터들도 저 클리포드 스탠다드 베이시스를 구성하는 것들이지요. 우리가 흔히 알던 벡터와는 좀 다릅니다. 다만 이 클리포드 알제브라가 우리가 아는 컨벤셔널 벡터까지 모두 다 포용하고 더 잘 설명해줄수가 있으니 벡터와 완전히 다른건 아닙니다. 실제로 클리포드 알제브라중에 그레이드 1 만 가지는 스탠다드 베이시스들이 우리가 학교에서 배운 벡터들의 베이시스 지요.
        오늘 (다른거 해야 하는데…) 내가 관심있게 보고 있는건 Vahlen 매트릭스라는건데 이것이 사실은 복소수에서의 뫼비우스 매트릭스를 확장 하는 개념이라서 흥미로운건데 사실 뫼비우스 변환을 확장해서 3차원 4차원의 컨포멀 변환들을 다 뫼비우스 변환매트릭스라고 부르기도 하지요. 원글에 있는 저 매트릭스 패턴도 밸렌 매트릭스와 연관이 있는 패턴입니다.
        
        그리고 스탠다드 베이시스의 코에피션트들의 리스트를 칼럼으로 나열해서 벡터로 생각하는건 컨벤셔날 벡터에서 사용하는 방법이지요. 이건 베이시스가 서로 오쏘노말하다는 전제하에 일반 콘트라 벡터에서나 아무 생각없이 그냥 편하게기계적으로 쓸수있는 방법입니다. 파이쏜이나 프로그래밍 할때나 적용할수 있는것이고, 좌표계가 오쏘고날하지 않을때나 클리포드알제브라하고는 좀 거리가 멀어요. 클리포드 알제브라에서는 그런식으로 칼럼벡터를 만들지 않습니다. 그래서 매트릭스 리프리젠테이션이 유용할수 밖에 없는거에요. 이것도 사실 트라이 벡터 이상으로 가면 3rd 오더 텐서로 올라가니 너무 복잡해지니 그냥 매트릭스단계에서만 생각하지요.
        
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        ㅎㅅ 76.***.204.204 2024-03-2311:15:54
        
        “클리포드 알제브라에서는 그런식으로 칼럼벡터를 만들지 않습니다. 그래서 매트릭스 리프리젠테이션이 유용할수 밖에 없는거에요. ”
        
        ==>
        이걸 반박이 없어서 내가 반박해보면
        CL(+1,-2) 릐 경우에, 내적해서 -1 이 생기는게 벡터 베이시스가 두개가 있으니까, 그리고 전체 백터 스페이스가 3 이니까
        p=1: e1 = [1, 0,0] transpose.
        q=-2?
        e2 =[0, i, 0] transpose
        e3 = [0,0,i] transpose.
        
        이렇게 복소수를 이용해서 3개의 칼럼벡터를 만들수는 있네요. 베이시스들간에 오쏘고날도 성립하고. 근데 이거 가지고는 멀티벡터를 만들기가 어렵고 바이벡터나 트라이벡터 설명하기가 역시 힘들군요. 사실 3차원 텐서 프라덕트로 표현은 가능하지만 표현한걸 해석하기는 거의 불가. 그냥 해석상의 문제지 표현상으로는 문제는 없는듯. (그러고보니 파이쏜으로 계산하고 해석하면 문제 없는듯. 사람이 비줠상 종이에 써가며 계산할려니까 거의 불가한거고.)
        
        근데 CL(3,0) 경우라 해도 e1 을 매트릭스 베이시스로 표현하면 8×8 매트릭스가 나와서 간단한 수학이 아님. 2 차원에서 2×2 매트릭스였는데 3차원에서는 8×8 매트릭스가 되므로 D 차원이면 2^D x 2^D 사이즈의 매트릭스 베이시스들이 필요.
        
        여기서 또 하나 질문:
        우리가 아는 쿼터니온은 3스피어(4차원에 임베디드된 스피어) 를 나타내고 3차원 유니트 스피어에서 회전을 의미한다면서 (또는 4차원이라고 말하는 사람도 있고) 보통 실수성분 매트릭스 표현이 4×4 로 표현가능한데
        왜 위에서는 3차원 벡터 스페이스 베이시스를 제너레이터로 이용했는데 8×8 매트릭스(실수성분)가 나오나? 뭐가 문제냐? 두 매트릭스의 차이 설명은?
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  헐 174.***.121.252 2024-03-2114:42:35
  
  비엉신
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  솩자 89.***.180.36 2024-03-2119:49:48
  
  아 이 엄청난 word salad는… 질문은 핑계였고 누구한테 대고 강의하고 싶으신 분이었군요 답정너 잘 봤습니다
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    4 76.***.204.204 2024-03-2120:18:37
    
    Ablamowicz-Lounesto-Parra 1996 clifford-algebras-with-numeric-and-symbolic-…
    
    강의하는게 아니고…
    1. 진짜 몰라서 묻는건데,
    2. 답을 기대하진 않아요. 수준이 아주 높은 수학이라는거 아니까. 수학과 대학원에서나 또는 극히 관련된 사람만 알아서 공부할듯한 분야일테니까
    3. 누가 답해줄지 그래도 기대는 되요. 답변이 좋든 나쁘든 아쨌든 관심사가 조금은 겹쳐지는 거니까…그리고 관심 가지는 사람도 생기면 좋을거고…
    4. 답변 줘서 고마워요. 그리고 계속 공부해봐요. 도움되는게 있을거에요. 이거 요즘엔 분자 운동 연구하는 인공지능 알고리듬에서도 이용되고 있어요.
    5. 질문에 대한 답은 얻을려면 아마 오래 걸릴거에요. 난 그다지 머리 좋은 사람이 아니라서. 뫼비우스 매트리스를 확장시키는 수학이 그렇게 간단한 수학은 아닌거 같아서…근데 이미 논문들에 답은 다 나와 있어요. 케일리 변환이라는거랑….내 머리가 나빠서 이해하는데 너무 오래 걸려서 그렇지…근데 신기한게 나 학교 졸업한후에도 완전히 새로운 공식 새로운 이론이 계속 나온다는거…최근에도 그렇고…그만큼 다른 사람들도 이해하는데 스트러글 하고 있고 계속 이방향으로도 접근해보고 저방향으로도 접근해보고 하는듯…
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      00 100.***.214.101 2024-03-2214:49:18
      
      찐다맞네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
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    4 76.***.204.204 2024-03-2313:56:44
    
    6. 학문하는 넘이 겸손이 생명인데, 말뽄세가 아주 싸가지가 없네. 지가 못알아 먹는 말이라고 ㅋㅋㅋ 그래가지고 배움은 고사하고 인간이 쓰겠냐? 인간은 인성이 좋아야 한다. 아무리 세상이 인공지능으로 돈으로 변해도..
    
    “수학은 굉장히 어렵고 추상적인데 사실 그게 수학의 매력이에요.” – 허준이.
    “사람들이 수학이 단순하다는 것을 믿지 않는다면, 삶이 얼마나 복잡한지 알지 못하기 때문입니다.” – 폰 노이만
    “세상에 쉬운 일이 드물다는 생각을 자주 한다” — 허준이 아들의 아빠
    
    수학은 삶보다 단순하다. 삶도 복잡하고 수학도 복잡하니 생각이 복잡한건 당연지사. 그러나 그 복잡한 사고에서 단순함을 뽑아낼수 있는것이 수학이다. 삶에서 궁극적 단순함은 죽음이라는 널 벡터이다. 수학은 죽음에 이르지 않고도 살아가면서 단순함을 찾을수 있는 많지 않은 방법들 중의 하나를 제공해준다. 그런데 수학에서 널 벡터는 무에서 새로운 차원을 이머지 시켜주는 수단이 된다. 즉 부활이다.— 내가 가라사대.
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  솩자 89.***.180.36 2024-03-2319:46:32
  
  CL_1,2(R)을 구성하는 basis 자체는 e1^2=1, e2^2=-1, e3^2=-1 이렇게 3개가 맞으나 얘들끼리 anticommute 하기 때문에 이걸로 span하는 algebra에 속한 일반적인 벡터 v를 설명하려면 (1, e1, e2, e3, e1e2, e1e3, e2e3, e1e2e3) 각 항에 대한 계수를 모두 생각해야 한다. 이 계수를 두고 vector representation이라고 한건데 갑자기 파이썬에서나 쓰는 방식이라고 하니 내가 할말이 없어서 답을 안했음. vector form 얘기를 하자는건 basis element 자체를 R^n이나 C^n에서 생각하는게 아니고 CL에 속하는 일반적인 벡터를 설명하기 위한것임.
  
  Quaternion을 설명하기 위해 4차원밖에 필요없는 이유는 CL_3,0(R)의 8개 차원에서 짝수 grade에 해당하는 애들만 따온 subspace랑 (second Clifford algebra) isomorphic하기 때문임. 즉 (1, e1e2, e1e3, e2e3)에 대한 계수만 nonzero인 것들을 생각해서 e1e2=i, e2e3=j, e3e1=-e1e3=k로 놓으면 quaternion이랑 동일하다. 굳이 second Clifford algebra로 안 가도 CL_0,2(R)의 4개 차원 (1, e1, e2, e1e2)를 (1, i, j, k)로 치환시키는 방법도 있음.
  
  Clifford algebra는 개념적으로 vector space이지만 각 basis와 그걸 조합한 애들을 다룰 때 특정 계수를 가진 matrix로 놓으면 anticommute 등의 성질을 보존할 수 있어서 matrix representation을 쓰기도 함. CL_0,2(R)의 예를 계속하면 e1 = [i 0; 0 -i], e2 = [0 -1; 1 0]으로 놓고 일반 matrix product 하듯이 계산하면 e1e2 = -e2e1 = [0 -i; -i 0]이다.
  
  수학 대학원 과정에서나 다룰 주제인건 맞지만 원글 질문은 응용도 아닌 definition에 관한것임.
  “수준이 아주 높은 수학인걸 알아서 답을 기대하진 않는다”라던가,
  “클리포드 알제브라에서는 그런식으로 칼럼벡터를 만들지 않습니다” 같이 뭐 이미 다 통달한 사람처럼 대답을 하고,
  답한 사람한테 엉뚱하게 공부 좀 더 하면 도움이 될거라고 받아치기까지 하니 어이가 없습니다.
  그 와중에 Vahlen matrix나 Mobius transformation이나 온갖 관련 키워드를 들이대면 뭐합니까? 사상누각이잖아요
  
  학문하는 넘은 겸손이 생명이라고요? “수준이 아주 높은 수학”을 하고 있다는 자아도취에 빠진거 아닌지 자기객관화좀 부탁드림.
  
  앞으로 이 76.*.204.204 IP가 수학 어쩌고 하는건 철저히 무시하겠음.