여기서 사용된 if는 소위 가정법으로 사용된 것이 아니고,
둘 중 하나를 선택할 때 사용하는 if입니다.
I do not know if I have to do something, or not
I do not know whether I have to do something, or not

`

‘네가 열어야 하는지/아닌지 아는냐?’
‘네가 열어야한다는 걸 아느냐?’
의 차이

일단 원글님이 선호하는 do you know you have to have the browser open to receive messages?는 목적어 명사절을 이끄는 that이 생략된 경우이기 때문에 원칙적으로 do you know THAT you have to have the browser open to receive messages?가 맞습니다.

한국의 영어문법책 ‘일치와 화법’에서 많이 설명되는 문장형태입니다.

He said to me, “Do you know her e-mail address?”
He asked me if I knew her e-mail address.

직접화법에서 간접화법으로 전환할 경우, 의문사를 포함하지 않은 의문문은 if(or whether)가 이끄는 명사절로 바뀌어서 목적어가 됩니다. 또한 이 때 문장 형태는 의문문에서 평서문으로 바뀝니다. 유사한 방법으로 의문문이 다른 문장의 목적어로 들어갈 경우 역시 if(or whether)가 이끄는 명사절로 바뀌어서 목적어가 됩니다. 평서문이 다른 문장의 목적어로 들어간 경우에는 원글님이 선호하신 문장처럼 that이 이끄는 명사절로 바뀌어서 목적어가 됩니다.

do you know it?
do you have to have the browser open to receive messages?

뒷문장이 앞문장의 it에 해당되게 두 문장을 합치면 do you know THAT you have to have the browser open to receive messages?가 아니고 do you know IF you have to have the browser open to receive messages?가 됩니다.

시간이 되시면 고등학교 시절에 사용하던 한국의 영어참고서 일치와 화법 부분을 다시 한번 훑어보세요. 아마 기억이 나실겁니다.

답변 정말 감사합니다!